Demandez à une fiche technique le couple d’une articulation robotique, sa vitesse, son rapport de réduction, voire sa rigidité torsionnelle : elle vous répondra. Demandez-lui sa première fréquence de résonance — la fréquence à laquelle toute la chaîne cinématique commence à vibrer — et vous n’obtiendrez généralement que le silence. Pourtant, cette valeur rarement documentée détermine avec quelle agressivité vous pouvez commander le couple, jusqu’où votre régulateur peut augmenter ses gains et si l’articulation bourdonne, vibre ou grince sous charge. Cet article examine le problème de la résonance, des principes fondamentaux aux moyens d’atténuation, en s’appuyant sur les valeurs réelles utilisées par les ingénieurs.

Deux inerties et un ressort : l’origine de la résonance

Toute articulation robotique à réducteur se compose mécaniquement de deux inerties couplées par un ressort. Du côté moteur se trouve l’inertie du rotor. Du côté charge se trouve le bras, ramené à travers le rapport de réduction. Entre les deux se trouve la rigidité torsionnelle de la transmission — dans une articulation intégrée, ce ressort est presque entièrement constitué par le réducteur lui-même, et non par les arbres ou les accouplements qui l’entourent.

Modélisez-la comme le système classique à deux inerties : deux fréquences apparaissent alors, un pôle de résonance, où le moteur et la charge oscillent en opposition, et un zéro d’antirésonance, où leurs effets s’annulent. Le pôle se situe à ω = √(K·(1/Jm + 1/JL)), et le zéro à √(K/JL), où K représente la rigidité de la chaîne cinématique, Jm l’inertie côté moteur et JL l’inertie de charge vue à travers le réducteur. Le pôle est toujours au-dessus du zéro. Aucune de ces valeurs ne figure sur une fiche technique, mais toutes deux peuvent être mesurées lors d’un essai de réponse en fréquence de la chaîne cinématique.

Ces valeurs ne sont pas exceptionnelles. Une étude expérimentale menée en 2021 sur une transmission industrielle à servomoteur, modélisée exactement de cette manière, a mesuré des fréquences d’antirésonance de 44,8 à 80,4 Hz et des fréquences de résonance de 51,8 à 93,1 Hz selon les configurations de fonctionnement, avec des écarts entre simulation et expérience inférieurs à 10 Hz (Zhang et al., Mechanical Sciences 12:305, 2021, doi:10.5194/ms-12-305-2021). Un banc d’essai de réducteur harmonique étudié à McGill a révélé la même structure à des fréquences encore plus basses : des pics de résonance proches de 200 et 400 rad/s, soit environ 32 et 64 Hz (Taghirad, "Robust Torque Control of Harmonic Drive Systems," McGill University, 1997). Le premier mode d’une articulation réelle se situe généralement entre quelques dizaines et environ une centaine de hertz, en plein dans la plage de bande passante où un servomoteur moderne est censé fonctionner.

La règle qui découle du modèle à deux inerties est la suivante : la bande passante effective du régulateur doit rester nettement inférieure à la première fréquence de résonance. Si le gain dépasse le pôle, la boucle censée réguler le couple devient la source d’excitation. La distance à maintenir en dessous relève du réglage — les fournisseurs ne sont pas tous du même avis —, mais rester « bien en dessous du premier mode » est impératif, et le filtre coupe-bande est la solution de contournement standard du secteur lorsque cette condition pose problème (Galil Application Note #3502, "Using Notch Filters to Mitigate Resonance").

Le ressort caché de l’onde de déformation : une rigidité qui varie avec la charge

Le modèle à deux inerties suppose discrètement une chose que le réducteur harmonique ne peut offrir : un ressort constant. Les réducteurs à onde de déformation présentent leur rigidité sous la forme d’une courbe à trois zones — K1 de zéro couple jusqu’à un seuil T1, K2 de T1 à T2 et K3 de T2 jusqu’au couple nominal — et les valeurs du catalogue rendent cette non-linéarité explicite.

Pour un ensemble de composants en forme de coupelle de taille 25 (CSG-25-100, 100:1), la courbe publiée par Harmonic Drive indique K1 = 31 000 Nm/rad, K2 = 50 000 Nm/rad et K3 = 57 000 Nm/rad, avec des limites de zone à T1 = 14 Nm et T2 = 48 Nm, pour un couple nominal d’environ 87 Nm (données du catalogue Harmonic Drive AG). La limite de la zone de faible charge se situe autour de 16 % du couple nominal : autrement dit, la zone où un robot passe une grande partie de sa vie à soutenir tranquillement son propre poids est précisément celle où le ressort est le plus souple.

La conséquence arithmétique sur la résonance est modérée, mais réelle : K1 étant environ 1,8 fois plus faible que K3 (57 000/31 000 ≈ 1,84), la fréquence du pôle à faible charge peut être jusqu’à environ 1,35 fois plus basse qu’à forte charge (la résonance varie comme √K). Le déplacement n’est pas spectaculaire, mais il rapproche le pôle de la bande passante du régulateur précisément lorsque l’articulation effectue un travail précis à faible couple. Cela signifie aussi qu’un filtre coupe-bande réglé pour une condition de charge peut être mal accordé pour une autre. Tuttle et Seering ont mesuré ce comportement très tôt et l’ont décrit sans détour : les profils de rigidité statique des unités réelles sont « hautement non linéaires » (Tuttle & Seering, "A nonlinear model of a harmonic drive gear transmission," IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1996, doi:10.1109/70.499819).

Et la rigidité ne fait pas tout. La même transmission contribue au frottement de Coulomb et à l’amortissement structurel, qui varient selon le couple et la vitesse. La dynamique de l’articulation est donc non linéaire de bout en bout : flexibilité, frottement et amortissement sont couplés, comme le décrit en détail la thèse de Taghirad. À strictement parler, une articulation réglée à un point de fonctionnement constitue un système différent à un autre point de fonctionnement.

Source : données publiées par Harmonic Drive AG sur les ensembles de composants ; valeurs du catalogue d’un seul fournisseur, représentatives de la catégorie des réducteurs à onde de déformation, mais non garanties pour toutes les unités.

Pourquoi les rapports de réduction élevés rapprochent la résonance du régulateur

Le rapport de réduction intervient deux fois dans le problème de résonance et, dans les deux cas, déplace le pôle dans une direction défavorable aux régulateurs.

Premièrement, l’inertie de charge est ramenée côté moteur et divisée par N². C’est l’image inversée du facteur N² appliqué à l’inertie ramenée du point de vue de la charge : le même N² qui protège le moteur de la charge le découple également de la charge du point de vue du régulateur, et le pôle de l’articulation se rapproche de √(K/JL) à mesure que N augmente. Lorsque l’élément flexible est le réducteur lui-même (une articulation élastique au sens de Spong), la formule du pôle ω = √(K·(1/JL + 1/(N²·Jm))) le montre directement : un N élevé fixe la fréquence sur le terme côté charge. Le genou d’un humanoïde doté d’un réducteur à rapport élevé, dont l’inertie du bras dépasse largement tout ce qui se trouve derrière lui, possède une résonance déterminée presque entièrement par la rigidité du réducteur et l’inertie de la jambe. Comme le moteur ne ressent plus la charge, l’encodeur moteur détecte de moins en moins les oscillations qu’il devra pourtant finir par amortir.

Deuxièmement, un rapport élevé concentre toute la marge de conformité dans un seul petit composant. Les articulations à entraînement direct répartissent leur compliance sur de grandes structures rigides et repoussent leur premier mode bien au-delà de la bande de commande. C’est en partie ce qui rend la régulation du couple si transparente en entraînement direct — et explique aussi le surcroît de masse du moteur. Une articulation à réducteur offre une densité de couple élevée, mais son premier mode se situe en même temps à quelques dizaines de hertz, assez près de la bande passante atteignable de la boucle de couple pour que toute augmentation de gain doive composer avec la résonance.

C’est la raison discrète pour laquelle le conseil « il suffit d’augmenter la bande passante » — qui met fin à tant de débats sur la bande passante en couple (voir notre article précédent sur ce que mesure réellement la bande passante en couple) — se heurte à une limite. La bande passante n’est utile que jusqu’à une fraction du premier mode, et celui-ci est déterminé par des composants que l’ingénieur moteur ne contrôle pas et que la fiche technique ne mentionne pas.

Ondulation de couple : une excitation déjà intégrée

Une résonance est sans conséquence tant qu’elle n’est pas excitée, mais une articulation à réducteur intègre sa propre source d’excitation : l’ondulation de couple générée par l’engrènement du réducteur.

Dans un réducteur à onde de déformation, les dents s’engrènent simultanément dans deux zones. La principale vibration d’engrènement oscille donc à deux fois la vitesse du moteur, et ses harmoniques s’y ajoutent. Les mesures de Taghirad sur un banc d’essai de réducteur harmonique rendent le spectre concret : à une vitesse d’entrée d’environ 156 rad/s, le spectre du couple présente des pics distincts à 312 et 624 rad/s, soit exactement 2× et 4× la fréquence d’entrée. Les travaux expérimentaux antérieurs de Tuttle et Seering ont relevé la même signature dans l’erreur cinématique, qui apparaît « principalement à des fréquences multiples de la vitesse de rotation du générateur d’ondes » (Tuttle & Seering, DETC1993-0319).

Le risque tient à un simple calcul. La fréquence de base de l’ondulation varie avec la vitesse du moteur. Ainsi, lorsque l’articulation accélère et décélère sur sa plage de fonctionnement, l’ondulation balaie une bande de fréquences et, à une certaine vitesse, franchit la première fréquence de résonance. Dans ce cas, la faible rigidité de la transmission assure le couplage. Le tableau récapitulatif de Taghirad résume le mécanisme en une phrase : « les ondulations de couple produites par l’engrènement peuvent interagir avec la faible rigidité de la transmission et exciter des résonances », générant de fortes amplitudes de vibration dans certaines plages de fonctionnement. Voilà pourquoi une articulation peut rester silencieuse sur le banc à une vitesse et sembler bruyante à une autre : la résonance n’a pas changé, c’est l’excitation qui l’a atteinte.

La même logique s’applique au-delà du réducteur. Le couple de détente côté moteur et les imperfections de la boucle de courant ajoutent leurs propres composantes d’ondulation, qui sont amplifiées dès qu’elles atteignent le pôle. Une articulation dont personne n’a mesuré la résonance est une articulation dont personne ne peut prévoir les points de fonctionnement bruyants.

Les solutions des ingénieurs

Rien de tout cela n’est rédhibitoire, ni nouveau. L’arsenal d’atténuation comporte quatre volets, et les conceptions d’articulations abouties en combinent plusieurs.

Filtrer la boucle. Le filtre coupe-bande est la solution standard du secteur : identifier le pôle, y placer un filtre coupe-bande et conserver les gains. Les fabricants de variateurs proposent précisément des étages coupe-bande (et des filtres biquadratiques passe-bas) à cette fin. La note d’application de Galil décrit l’emploi de filtres coupe-bande « pour maîtriser les résonances mécaniques susceptibles de déstabiliser les systèmes de commande de mouvement ». Leur limite est inhérente à leur conception : ils sont fixes, et une résonance qui se déplace avec la charge — comme la variation de rigidité d’un réducteur à onde de déformation le garantit — peut sortir de la bande filtrée. Le recours à plusieurs filtres coupe-bande, au réglage adaptatif ou à une marge de gain prudente permet de contourner le problème.

Façonner la consigne. Au lieu de lutter contre la résonance par la rétroaction, on peut éviter de l’exciter en anticipation. Le façonnage d’entrée — qui consiste à convoluer les consignes avec une séquence d’impulsions minutées pour annuler le mode — trouve son origine dans l’article ASME de Singer et Seering paru en 1990, « Preshaping Command Inputs to Reduce System Vibration » (J. Dyn. Sys., Meas., Control 112:76–82, doi:10.1115/1.2894142). Il a été perfectionné peu après par l’approche des diagrammes vectoriels de Singhose, Seering et Singer (ICRA 1990). Pour un robot, cette technique s’intègre naturellement à la génération de trajectoires : lisser les accélérations des articulations évite tout simplement de susciter l’interaction entre l’ondulation et la résonance.

Utiliser en rétroaction ce que le moteur peut détecter. La rétroaction d’accélération ajoute un amortissement actif en exploitant le signal le plus étroitement corrélé aux oscillations. Dans l’étude de Zhang sur le système à deux inerties, un filtre coupe-bande associé à une rétroaction d’accélération ramène la résonance modélisée à moins de 10 Hz de la mesure ; les variateurs du commerce proposent des variantes de la même approche. Avec un réducteur à rapport élevé, le problème revient : l’encodeur côté moteur ne donne qu’une indication imparfaite des oscillations côté charge. C’est une raison supplémentaire pour laquelle les articulations intégrées sont de plus en plus souvent équipées de capteurs côté sortie.

Choisir délibérément le ressort. La rigidité est une variable de conception. Une catégorie de réducteurs plus rigide (les familles planétaires et cycloïdales présentent, à taille comparable, des courbes de rigidité plus élevées et plus plates que les réducteurs à onde de déformation) éloigne le pôle de la bande de commande. À l’inverse, un ressort délibérément souple et instrumenté — selon la philosophie de l’actionneur élastique en série — transforme le problème de résonance en un phénomène mesurable et amorti, au prix d’une bande passante de commande réduite pour une meilleure fidélité de force. L’argument initial de Pratt et Williamson en faveur des SEA (IROS 1995, doi:10.1109/iros.1995.525827) reste la formulation la plus claire de ce compromis : une rigidité d’interface réduite permet un « contrôle de force plus précis et plus stable ». Et le frottement propre au réducteur à onde de déformation, souvent déploré comme une perte de rendement, joue discrètement le rôle d’amortisseur passif qui empêche le mode d’osciller librement. Tout le programme de « commande robuste du couple » de Taghirad existe parce que la flexibilité, le frottement et l’amortissement doivent être modélisés et compensés ensemble, et non parce que l’articulation serait sans espoir.

Liste de vérification pour une caractéristique rarement documentée

La résonance ne se lit pas sur une fiche technique, mais il est possible de la demander. Avant de choisir une articulation — ou de chercher pourquoi la précédente vibre —, voici les questions essentielles :

Aucune de ces questions n’a rien d’exceptionnel. Il est toujours moins coûteux de les poser avant d’installer l’articulation dans la jambe qu’après.

Le mode que l’on connaît est celui que l’on maîtrise

Un humanoïde évolue exactement dans le régime où la résonance pose problème : rapports de réduction élevés, phases silencieuses à faible couple, ondulation de couple balayant la bande de fréquences et régulateurs auxquels on demande davantage de bande passante à chaque génération. Les articulations qui résistent à ce régime ne sont pas celles dont le couple de blocage est le plus élevé sur la fiche technique. Ce sont celles dont le premier mode a été mesuré, caractérisé en fonction de la charge et pris en compte dès la conception, avec des filtres, le façonnage des consignes, la détection et le choix du réducteur travaillant tous dans le même sens.

C’est cette approche d’ingénierie que nous appliquons à chaque module que nous fabriquons. Les articulations intégrées de notre gamme d’actionneurs pour robots humanoïdes et nos modules d’articulation légers sont spécifiés comme le préconise cet article : avec des courbes de rigidité plutôt qu’une valeur unique, et en privilégiant la dynamique avant le couple. Les deux spécifications invisibles au cœur de notre sujet d’aujourd’hui sont traitées en détail dans nos articles précédents sur le facteur N² appliqué à l’inertie ramenée et ce que mesure réellement la bande passante en couple.

La résonance sera toujours présente. La différence entre une articulation qui vibre et une articulation qui chante tient à une question : ses concepteurs ont-ils cartographié son mode ?

Source : discussion à l’origine de cet article sur la résonance des réducteurs harmoniques comme mode de défaillance caché dans les commentaires du secteur chinois (唯能机器人润滑专家, WeChat, 2026-10-26) ; Taghirad, Robust Torque Control of Harmonic Drive Systems, McGill University, 1997 ; Tuttle & Seering, IEEE Trans. Robotics and Automation, 1996 (doi:10.1109/70.499819) et DETC1993-0319 ; Zhang et al., Mechanical Sciences 12:305–318, 2021 (doi:10.5194/ms-12-305-2021) ; données de catalogue des ensembles de composants Harmonic Drive AG ; Galil Application Note #3502 ; Singer & Seering, ASME J. Dyn. Sys., Meas., Control 112:76–82, 1990 ; Pratt & Williamson, IROS 1995. Les valeurs de rigidité du catalogue sont des valeurs publiées par un seul fournisseur, citées à titre de données techniques représentatives de la catégorie.